الملخص الشامل لرخصة المعلمين – رياضيات 2 1448

4. إذا كان \(x+\frac{1}{x}=k\) فإن \(x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=k^{2}-2\) و\(x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=k^{3}-3k\). مثال: \(k=5\) يعطي \(23\) ثم \(x^{6}+\frac{1}{x^{6}}=23^{3}-3\cdot 23=12098\).
5. للمعادلة \(ax^{2}+bx+c=0\) الجذران \(x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}\)؛ المميز \(\Delta=b^{2}-4ac\): موجب جذران حقيقيان مختلفان، صفر جذر مكرر، سالب لا جذور حقيقية.
6. مجموع جذري المعادلة التربيعية \(-\frac{b}{a}\) وحاصل ضربهما \(\frac{c}{a}\)؛ ورأس القطع \(y=ax^{2}+bx+c\) عند \(x=-\frac{b}{2a}\).
7. القيمة المطلقة: \(|x|=a\) مع \(a>0\) تعني \(x=\pm a\)؛ \(|x|<a\) تعني \(-a<x<a\)؛ \(|x|>a\) تعني \(x<-a\) أو \(x>a\).
8. نظام معادلتين خطيتين يُحل بالحذف أو التعويض؛ يكون له حل وحيد إذا تقاطع المستقيمان، ولا حل إذا توازيا، وعدد لانهائي من الحلول إذا انطبقا. وفي نظام المتباينات يُظلَّل تقاطع المناطق، والحد المتصل لـ \(\le,\ge\) والمتقطع لـ \(<,>\).
9. المتتابعة الحسابية: \(a_{n}=a_{1}+(n-1)d\) و\(S_{n}=\frac{n}{2}(a_{1}+a_{n})\). المتتابعة الهندسية: \(a_{n}=a_{1}r^{n-1}\) و\(S_{n}=\frac{a_{1}(1-r^{n})}{1-r}\)، وإذا \(|r|<1\) فمجموعها اللانهائي \(\frac{a_{1}}{1-r}\).
10. يمكن جمع مصفوفتين أو طرحهما إذا تساوت أبعادهما، ويمكن ضرب \(A_{m\times n}\) في \(B_{n\times p}\) والناتج من البعد \(m\times p\). ضرب المصفوفات تجميعي وتوزيعي لكنه غير إبدالي.
11. إذا كانت \(A=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}\) فمحددها \(ad-bc\)، ومعكوسها \(A^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-b\\-c&a\end{bmatrix}\) موجود فقط إذا كان المحدد لا يساوي صفرًا؛ ونظام \(AX=B\) حله \(X=A^{-1}B\).
12. الدالة تُقرن كل عنصر من المجال بعنصر واحد فقط من المدى، ويُعرف ذلك بيانيًا باختبار الخط الرأسي. مجال كثير الحدود \(\mathbb{R}\)، ومجال \(\sqrt{g(x)}\) هو \(g(x)\ge 0\)، ومجال الدالة النسبية يستثني أصفار المقام.
13. الدالة الأسية \(a^{x}\) (\(a>0,\ a\neq 1\)) مجالها \(\mathbb{R}\) ومداها \((0,\infty)\)؛ ودالة اللوغاريتم \(\log_{a}x\) مجالها \((0,\infty)\) ومداها \(\mathbb{R}\). مدى \(\sin x\) و\(\cos x\) هو \([-1,1]\) ودورتهما \(2\pi\)، ودورة \(\tan x\) هي \(\pi\).
14. مجال \(f\circ g\) هو قيم \(x\) في مجال \(g\) التي يكون عندها \(g(x)\) في مجال \(f\)؛ ومجال \(\frac{f}{g}\) يستثني أصفار \(g\). تكون للدالة عكسية إذا كانت متباينة (واحد لواحد)، ونجدها بتبديل \(x\) و\(y\) ثم الحل، ويتبادل المجال والمدى، والتمثيلان متناظران حول \(y=x\).
15. خواص اللوغاريتمات: \(\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y\)، \(\log_{a}\frac{x}{y}=\log_{a}x-\log_{a}y\)، \(\log_{a}x^{n}=n\log_{a}x\)، \(\log_{a}1=0\)، \(\log_{a}a=1\)، وتغيير القاعدة \(\log_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}\). تُفحص جذور المعادلة اللوغاريتمية لأن ما داخل اللوغاريتم موجب.
16. الدالة الخطية \(y=mx+b\) ميلها \(m=\frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}\) وتقطع محور \(y\) عند \(b\)؛ المستقيمان المتوازيان ميلاهما متساويان، والمتعامدان حاصل ضرب ميليهما \(-1\). في المسألة اللفظية عرّف المتغيرات أولًا، ثم اكتب المعادلة، ثم تحقق من الجواب.

أخطاء شائعة في هذا الفصل

• ✕ عند ضرب المتباينة أو قسمتها على عدد سالب ينعكس اتجاه الإشارة: من \(-2x>6\) نحصل على \(x<-3\) لا \(x>-3\).
• ✕ في المعادلة النسبية تُفحص الجذور بعد الحل: القيمة التي تصفّر أي مقام جذر دخيل ولو ظهرت من خطوات صحيحة.
• ✕ \(\log_{a}(x+y)\) لا تساوي \(\log_{a}x+\log_{a}y\)؛ القاعدة الصحيحة \(\log_{a}(xy)=\log_{a}x+\log_{a}y\). وكذلك \((a+b)^{2}\neq a^{2}+b^{2}\).
• ✕ ضرب المصفوفات لا يُبدّل: في العادة \(AB\neq BA\)، ومعكوس الحاصل \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\) بترتيب معكوس.
• ✕ \((f\circ g)(x)\) تعني تطبيق \(g\) أولًا ثم \(f\)، وليس العكس؛ و\(f\circ g\neq g\circ f\) في الغالب. والرمز \(f^{-1}(x)\) لا يعني \(\frac{1}{f(x)}\).
• ✕ في \(|x|=a\) إذا كان \(a<0\) فلا حل، وفي \(|x|<a\) مع \(a<0\) لا حل أيضًا؛ ويُخطئ كثيرون فيكتبون \(x=\pm a\) دون فحص إشارة \(a\).
• ✕ عند حل المتباينة الأسية أو اللوغاريتمية: إذا كانت القاعدة بين 0 و1 ينعكس اتجاه المتباينة، وفي اللوغاريتم يجب أن يكون ما بداخله موجبًا.
• ✕ الجمع بين المجموعتين وعدّ العناصر: جمع \(n(A)+n(B)\) فقط يعدّ عناصر التقاطع مرتين، فيجب طرح \(n(A\cap B)\). والمجموعة الخالية \(\varnothing\) ليست \(\{0\}\).