الملخص الشامل للقدرات 1448

4. المتتابعة الحسابية فرقها ثابت: \(a_n = a_1 + (n-1)d\). والهندسية نسبتها ثابتة: \(a_n = a_1 \cdot r^{n-1}\) (u5.1).
5. لمقارنة كسرين وحّد المقامين أو اضرب بالتبادل: \(\frac{a}{b} < \frac{c}{d}\) إذا كان \(ad < bc\) (للمقامين الموجبين) (u5.2).
6. \(p\%\) من \(x\) تساوي \(\frac{p}{100} \times x\). مثال ذهني: 10% من العدد بنقل الفاصلة خانة، و5% نصف ذلك (u5.2).
7. نسبة التغيير = \(\frac{\text{التغيّر}}{\text{القيمة الأصلية}} \times 100\)، والقسمة دائمًا على القيمة الأصلية (u5.2).
8. لتقسيم كمية بنسبة \(a:b\) اجمع الأجزاء \(a+b\)، فيكون نصيب الأول \(\frac{a}{a+b}\) من الكمية (u5.2).
9. التناسب الطردي: ناتج القسمة ثابت (\(\frac{y}{x} = k\))، والعكسي: ناتج الضرب ثابت (\(xy = k\)) (u5.2).
10. قوانين الأسس: \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\)، و\((a^m)^n = a^{mn}\)، و\(a^0 = 1\)، و\(a^{-n} = \frac{1}{a^n}\) (u5.3).
11. الجذور: \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}\) للعددين غير السالبين، ومنه \(\sqrt{50} = 5\sqrt{2}\). احفظ المربعات حتى 15² (u5.3).
12. السرعة = المسافة ÷ الزمن، ومنها: المسافة = السرعة × الزمن، والزمن = المسافة ÷ السرعة (u5.4).
13. السرعة المتوسطة = المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي. وإذا تحرك جسمان في اتجاهين متعاكسين تُجمع سرعتاهما لحساب زمن اللقاء (u5.4).
14. للتحويل من كم/س إلى م/ث اضرب في \(\frac{5}{18}\)، وللعكس اضرب في \(\frac{18}{5}\). ومقياس الرسم 1:100000 يعني أن 1 سم يمثل 1 كم (u5.4).
15. المتوسط = مجموع القيم ÷ عددها، ومنه المجموع = المتوسط × العدد. الوسيط هو القيمة الوسطى بعد الترتيب، والمنوال الأكثر تكرارًا، والمدى = أكبر قيمة − أصغر قيمة (u5.5).
16. الاحتمال = الحالات المناسبة ÷ الحالات الكلية، وقيمته بين 0 و1، واحتمال عدم الوقوع = 1 − احتمال الوقوع (u5.5).
17. خيارات المقارنة: الأول أكبر، أو الثاني أكبر، أو متساويان، أو المعطيات غير كافية. لا تختر الأول أو الثاني أو التساوي إلا إذا ثبت في كل الحالات الممكنة (u5.6).

أخطاء شائعة في هذا الفصل

• ✕ زيادة 20% ثم نقصان 20% لا تعيد العدد الأصلي: الناتج 96% منه، لأن النسبة الثانية تحسب من العدد الجديد.
• ✕ خصمان متتاليان 20% و10% لا يساويان خصم 30%؛ الخصم الفعلي 28%، لأن السعر يُضرب في 0.8 ثم في 0.9.
• ✕ السرعة المتوسطة ليست متوسط السرعتين إذا اختلف زمن كل جزء؛ احسبها دائمًا من المسافة الكلية ÷ الزمن الكلي.
• ✕ \(\sqrt{a+b}\) لا تساوي \(\sqrt{a}+\sqrt{b}\)، و\((a+b)^2\) لا تساوي \(a^2+b^2\).
• ✕ نسبة 2:3 لا تعني أن الجزء الأول \(\frac{2}{3}\) من الكل؛ الجزء الأول \(\frac{2}{5}\) لأن الكل = 2 + 3.
• ✕ الوسيط يُؤخذ بعد ترتيب القيم تصاعديًا؛ أخذ القيمة الوسطى من القائمة غير المرتبة خطأ شائع.
• ✕ في المقارنة، تجربة قيمة واحدة لا تكفي لاختيار «الأول أكبر»؛ جرّب الصفر والكسور والأعداد السالبة، فإن اختلفت النتيجة فالمعطيات غير كافية.
• ✕ الخلط في تحويل الوحدات: ضرب 60 بدل قسمته، أو نسيان تربيع معامل التحويل عند المساحة (1 م² = 10000 سم²).